समकोणीय कार्तीय निर्देशांक Rectangular Cartesian Coordinates Questions in Hindi

Ques 1: यदि बिन्दु (1,1) , (-1,-1) व (-√3, k) किसी समबाहु त्रिभुज के निर्देशांक हों, तो k का मान है

• √2
• -√2
• √3
• -√3

l² = 2² + 2² = 4 + 4 = 8 = (√3 + 1)² + (k + 1)² ⟹ k = √3

Ques 2: उस वृत्त का क्षेत्रफल, जिसका केन्द्र (1,2) है तथा जो बिन्दु (4,6) से होकर जाता है, होगा

• 5π
• 10π
• 25π
• 50π

त्रिज्या = √(1-4)² + (2-6)² = 5
अतः क्षेत्रफल = πr² = 25π वर्ग इकाई

Ques 3: बिन्दुओं (a sin θ, a cos θ) और a cos θ, – asin ⁡θ के बीच की दूरी है

• √2a
• √3a
• √2
• इनमें से कोई नहीं

दूरी = √a sin θ – a cos θ)² + (a cos θ + a sin θ)²
= a√sin²θ + cos²θ – 2 sin θ cos θ
= sin²θ = + cos²θ + sin θ cos θ
= a√(sin²θ + cos²θ) = a√2

Ques 4: यदि बिन्दु (x,0), (0,y) और (1,1) समरेखीय हों, तो

• x + y = xy
• x² + y² = xy
• x + y + x²y² = 0
• उपरोक्त में से कोई नहीं

चूँकि दिए गए बिन्दु समरेखीय हैं।
∴1/2 [x(y-1) + 0(1-0) + 1(0-y)] = 0
⟹xy – x – y = 0 ⟹ x + y = xy

Ques 5: उस त्रिभुज के केन्द्रक के निर्देशांक, जिसके शीर्षों के निर्देशांक (-3,-2), (-2,3) और (3,2) हैं, होंगे

• (-1,1)
• (-⅔, 1)
• (1,-⅔)
• इनमें से कोई नहीं

(-⅔, 1)

Ques 6: बिन्दुओं (4,6) तथा (3,-8) को मिलाने वाली रेखा को x- अक्ष जिस अनुपात में विभाजित करता है, वह अनुपात है

• 1 : 2
• 2 : 3
• 3 : 4
• 4 : 5

x – अक्ष पर y = 0
माना वह रेखा x- अक्ष द्वारा m : n में विभाजित होती है।
0 = (m(-8) + n(6) / m + n ⟹ – 8m + 6n = 0 ⟹ m / n = 3 / 4

Ques 7: यदि बिन्दु A(2,-2), B (8,4), C(5,7) तथा D(-1,1) एक बहुभुज के शीर्ष हैं, तो वह बहुभुज होगा

• वर्ग
• समान्तर चतुर्भुज
• आयत
• समचतुर्भुज

वर्ग

Ques 8: बिन्दु (2,-2), (14,10) तथा (11,13) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो त्रिभुज है

• समद्विबाहु
• विषमद्विबाहु
• समकोण
• इनमें से कोई नहीं

माना A = (2,-2), B (14,10), C = (11,13)
AB {(14-2)² + (10+2)²}^½ = √144 + 144 = 12√2
BC = (11 – 14)² + (13 + 2)²}^1/2
तथा AC = {(11 – 2)² + (13 + 2)²}^1/2
= (81 + 225)^1/2
= 3√34
AC² = AB² + BC²

Ques 9: त्रिभुज जिसके शीर्षों के निर्दशांक (0,0), (4,0) तथा (0,6) हों, तो क्षेत्रफल होगा

• 24 वर्ग इकाई
• 12 वर्ग इकाई
• 6 वर्ग इकाई
• इनमें से कोई नहीं

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2×6×4 = 12 वर्ग सेमी इकाई

Ques 10: यदि बिन्दु (x,9) (0,1) और (-6,-7) संरेख हैं, तो x का मान होगा

• 4
• 5
• 6
• 7

6

Ques 11: एक त्रिभुज के दो शीर्ष (3,5) तथा (-4,-6) हैं। यदि त्रिभुज का केन्द्रक (4,3) हो, तो त्रिभुज का तीसरा शीर्ष होगा

• (10,13)
• (13,10)
• (5,13)
• (13,5)

(13,10)

Ques 12: बिन्दु (-1,3) और (4,-2) से खींची जाने वाली रेखा बिन्दु (a,b) से होकर जाएगी, यदि

• a + b = 1
• a + b = 3
• a – b = 2
• a + b = 2

यदि तीनों बिन्दु एक ही रेखा पर हैं, तब इनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा
∴1/2 [-1(-2-b) + (b-3) + a(3+2)] = 0
⟹2 + b + 4b – 12 + 5a = 0
⟹ a + b = 12

Ques 13 : बिन्दु (-2,-3), (4,1) एवं (1,-1) द्वारा क्षेत्रफल है

• 4√2
• 0
• 12
• इनमें से कोई नहीं

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ [-2(1+1) + 4(-1+3) + 1(-3-1)]
= ½ [-4 + 8 – 4] = ½ ⨯ 0 = 0

Ques 14: बिन्दु (1,3), (4,2), (7,5)और (4,6) एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं, चतुर्भुज है

• आयत
• समान्तर चतुर्भुज
• वर्ग
• समचतुर्भुज

माना बिन्दु A(1,3), B(4,2), C(7,5) और D(4,6) एक चतुर्भुज के शीर्ष हैं,
तब
AB = √(4-1)² + (2 – 3)² √9 + 1 = √10
BC = √(7-4)² + (5-2)² = √9 + 9 = √18 = 3√2
CD = √(4-7)² + (6-5)² = √10
DA √(1-4)² + (3 + 6)² = 3√2
AC = √(7-1)² + (5-3)² = 2√10
तथा BD = √(4-4)² + (6-2)² = √0 + 16
चूँकि AB = CD और BC = DA (भुजाएँ)
AC ≠ BD (विकर्ण)
अतः दिए गए बिन्दु, एक समान्तर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

Ques 15: किसी बिन्दु की कोटि उसके भुज के बराबर है तथा वह बिन्दु (-3,4) से 7 इकाई की दूरी पर है। उस बिन्दु के निर्देशांक हैं

• (4,4), (3,3)
• (-4,-4), (3,3)
• (-4,-4), (-3,-3)
• (4,4), (-3,-3)

माना बिन्दु (x,x) है, तब
(x+3)² + (x-4)² = (7)²
⟹x² + 6x + 9 + x² – 8x + 16 = 49
⟹2x² – 2x – 24 = 0
⟹2(x-4) (x+3) = 0 ⟹ x = 4 – 3
बिन्दु (4,4) या (-3,-3) हैं।

Ques 16: बिन्दु (2,4) और बिन्दु (-3,5) को मिलाने वाली रेखा y – अक्ष निम्न अनुपात में विभाजित करता है

• 2 : 3
• 2 : 5
• -3 : 2
• 5 : -2

माना y-अक्ष बिन्दुओं A(2,4) तथा (-3,5) को मिलाने वाली रेखा को बिन्दु C पर m₁ : m₂ के अनुपात में विभाजित करता हैं
बिन्दु C, y – अक्ष पर है।
x = 0
x= m₁x₂ + m₂x₁ / m₁ + m₂ = 0 ⟹ m_{1 / m2 = ⅔ या m1 : m2 = 2:3}

Ques 17: बिन्दु (0,5), (5,0) तथा (2,2) बनाते हैं

• सरल रेखा
• समद्विबाहु त्रिभुज
• समबाहु त्रिभुज
• इनमें से कोई नहीं

वक्र से स्पष्ट है कि तीनों बिन्दुओं को एक-दूसरे से मिलाएँ, तो त्रिभुज बनेगा
अब, AB = √(0,5)² + (5 – 0)² = 5√2
BC = √(5-2)² + (0-2)² = √13
तथCA√(2-5)² + (2-0)² = √13
CA = BC
अतः बिन्दु समद्विबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

Ques 18: ABC एक त्रिभुज है तथा D, BC का मध्य बिन्दु है। यदि ABC के निर्देशांक क्रमशः (1,2), (-1,-3) तथा (3,-5) हों, तब AD को 2 : 1 के अनुपात में आन्तरिक रूप से विभाजित करने वाले बिन्दु के निर्देशांक होंगे

• (1,-6)
• (-1,6)
• (-1,-6)
• (1,-2)

D के निर्देशांक (-1 + 3 / 2, -3,5 / 2) = (1, -4)
AD को 2 : 1 में बाँटने वाले बिन्दु का
भुज = 2×1 + 1×1 / 2 + 1 = 1
कोटि = 2 × 1 + 1 × 1 / 2 + 1 = 1
अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक (1,-2) हैं।

Ques 19: दो बिन्दु (-3,2) तथा (-4,-3) एक बिन्दु (-1,y) से समान दूरी पर हैं। y का मान होगा

• 0
• 1
• -1
• इनमें से कोई नहीं

प्रश्नानुसार [(-3,2) की (-1,y) से दूरी]²
[(-4,-3) की (-1,y) से दूरी]²
⟹ (-3+1)² + (2-y)² = (-4 + 1)² + (-3 – y)²
⟹4 + 4 + y²– 4y = 9 + 9 y² + 6y
⟹-10y = 10 ⟹ y = -1

Ques 20: यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ½[ad + bc] है तथा उसके शीर्षों के निर्देशांक (0,0), (x,-b) तथा (c,b) हैं, तब x का मान होगा

• b
• a
• ab
• -a‘2

a

Ques 21: बिन्दु (a,0), (0,b) और (1,-1) समरेख होंगे, यदि

• a + b = 1
• 1/a + 1/b = 1
• a-b = 1
• 1/a – 1/b = 1

बिन्दु (a,0), (0,b) तथा (1,-1) समरेखीय हैं। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होगा
½[a(b + 1) + 1(0 – b)] = 0
⟹ ab + a – b = 0 ⟹ a – b = -ab
⟹ a/-ab – b / -ab = 1 ⟹ 1/a – 1/b = 1

Ques 22: यदि एक त्रिभुज, जोकि C पर समकोण बनाता है, के शीर्ष A(-1,0),B(4,-5) तथा C(5,-3) हों, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है

• 5.7 वर्ग इकाई
• 7.05 वर्ग इकाई
• 7.5 वर्ग इकाई
• 8.75 वर्ग इकाई

7.5 वर्ग इकाई

Ques 23: एक बिन्दु इस प्रकार की गति करता है, कि y -अक्ष से उसकी दूरी का 5 गुना x- अक्ष से दूरी के 3 गुने से सदैव 7 से अधिक रहता है। उस बिन्दु का बिन्दुपथ होगा

• 5y = 3x = 7
• 3y – 5y = 7
• 3x – 5y = 7
• 5x – 3y = 7

√माना बिन्दु (x,y) है।
प्रश्नानुसार, बिन्दु की y – अक्ष से दूरी ⨯5 – x अक्ष से दूरी ⨯3 = 7
⟹5x – 3y = 7

Ques 24: बिन्दु (a,b) तथा (b,a) को मिलाने वाली रेखाखण्ड को x – अक्ष किस अनुपात में विभाजित करेगा

• b / a + b अन्तः
• b / a + b बाह्यतः
• b / a अन्तः
• इनमें से कोई नहीं

b / a + b बाह्यतः

Ques 25: बिन्दु (2,3) तथा (5,-3) को मिलाने वाली रेखा को 1 : 2 के अनुपात में अन्तः विभाजित करने वाले के निर्देशांक है

• (-3,1)
• (3,-1)
• (3,1)
• (1,3)

दिया है, x₁ = 2, y = 3, x₂ = 5, y₂ = -3
तथा m : n = 1 : 2
x = mx₂ + nx₁ / m + n = 5 + 2 ⨯ 2 / 1 + 2 = 3
तथा y = my₂ + ny₁ / m + n = -2 + 6 / 3 = 1
अभीष्ट बिन्दु के निर्देशांक = (3,1)

Ques 26: वह चतुर्थांश जिसमें रेखाएँ x = -4 तथा y = -3 एक-दूसरे को काटती हैं, होगा

• (3,3)
• (-2,0)
• (3,5)
• (4,5)

माना x – अक्ष पर कोई बिन्दु P (x,0) है और A(-2,5), B (2,-3) दो दिए हुए बिन्दु हैं।
PA = PB (दिया हुआ है)
⟹PA² = PB²
(x + 2)² (0 – 5)² = (x-2)² + (0 + 3)²
x² + 4 + 4x + 25 = x² + 4 – 4x + 19
8x = -16 ⟹ x = -2
अतः x- अक्ष पर बिन्दु (-2,0) होगा

Ques 27: y – अक्ष पर बिन्दु (-5,-2) और (3,2) से समदूरस्थ किसी बिन्दु के निर्देशांक होंगे

• (0,-2)
• (-2,0)
• (3,5)
• (4,5)

माना y – अक्ष पर कोई बिन्दु P(0,y) है और दिए हुए बिन्दु A(-5,-2) और B(3,2) हैं।
और PA = PB
⟹ PA² = PB²
(-5,0)² + (y + 2)² = (3 – 0)² + (2 – y)²
25 + y² + 4 + 4y = 9 + 4 + y² – 4y
⟹8y = -16 या y = -2
अतः अभीष्ट बिन्दु = (0,-2)