लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक LCM and HCF Questions in Hindi MCQ

• 1
• 2
• 3
• 4

∴(x² + 5x + 6) व (X² – x – k) का म.स. (x + 2) है।
∴2² – 2 – k = 0
⟹4 – 2 – k = 0
⟹2 – k = 0
k = 2

Ques 2: व्यंजक x⁴ + 3x² – 4 तथा x² – 4x² + 3 का म.स. है

• (x – 1)
• (x + 1)
• (x’2 – 1)
• (x’2 – 3)

प्रथम व्यंजक = x⁴ + 3x² – 4
= x⁴ + 4x² – x² – 4
= x² (x² + 4) – (x² + 4)
= (x² + 4) (x² -1)
द्वितीय व्यंजक = x⁴ – 4x² – x² + 3
= x² (x² – 3) (x² – 3)
= (x² – 1) (x² – 3)
अतः प्रथम तथा द्वितीय व्यंजक का म.स. = (x² – 1)

Ques 3: व्यंजकों (x² – 1), (x³ + 1) तथा (x³ – 1) का लघुत्तम समापवर्त्य है

• x⁶ – 1
• ⁶ + 1
• x² + 1
• x² – 1

x² – 1= (x + 1) (x – 1)
x³ + 1 = (x + 1) (x² – x + 1)
x² – 1 = (x – 1) (x² + x + 1)
लघुतम समापवर्त्य = (x + 1) (x² – x + 1) (x – 1) (x² + x + 1)
= (x³ + 1) (x³ – 1) = x⁶ – 1

Ques 4: यदि व्यंजकों (x² + 5x + 6) तथा (x² – x – a) का महत्तम समापवर्तक (x + 2) है, तो a का मान होगा

• 1
• 6
• 2
• 3

∴(x + 2) दिए गए व्यंजकों का म.स. है।
अतः (x + 2) व्यंजक x² – x – a का एक गुणनखण्ड है।
x = -2 रखने पर शेषफल = शून्य
⟹ (-2)² – (-2) – a = 0
⟹ a = 6

Ques 5: (x² – 1) तथा (x⁴ + x² + 1) का म.स. होगा

• x – 1
• x² + 1
• x² + x + 1
• x² – x + 1

x³ – 1 = (x – 1) (x² + x + 1)
x⁴ + x² + 1= 2x²2 + 1 – 2x² + x²
= (x² + 1)² – (x)²
= (x² + x + 1) (x² – x + 1)
म.स. = (x² + x + 1)

Ques 6: दो व्यंजकों का लघुत्तम समापवर्त्य x(x + 1) (x + 2)(x + 3) तथा महत्तम समापवर्तक (x + 2)(x + 3) है। यदि एक व्यंजक (x³ + 5x² + 6x) हो, तो दूसरा व्यंजक होगा

• x(x + 1) (x + 2)
• (x + 1) (x + 2) (x + 3)
• x(x + 2) (x + 3)
• x (x + 2) (x + 4)

म.स. ⨯ ल.स. = प्रथम व्यंजक ⨯ द्वितीय व्यंजक
⟹(x + 2) (x + 3) x ⨯(x + 1) (x + 2) (x + 3)
(x³ + 5x² 6x) ⨯ द्वितीय व्यंजक
⟹ x (x + 1) (x + 2)² (x + 3)² = x(x² + 5x + 6) ⨯ द्वितीय व्यंजक
⟹(x + 1) (x + 2)² (x + 3)² = (x + 2) ⨯ द्वितीय व्यंजक
⟹ द्वितीय व्यंजक = (x + 1) (x + 2) (x + 3)

Ques 7: दो द्विघातीय व्यंजकों का म.स. (x + 2) है तथा ल.स. (x³ + 2x² – x – 2) है तब व्यंजक है

• x² – 3x + 2, x² + x – 2
• x² + 3x + 2, x² + x – 2
• x² + 3x + 2, x² – x – 2
• x² – 3x + 2, x² + x – 2

ल.स. x³+ 2x² – x – 2
= (x + 2) (x² – 1)
= (x + 2) (x² -1 )
= (x + 2) (x + 1) (x – 1)
म.स. = (x + 2)
पहला व्यंजक = (x + 2) (x + 1) = x² + 3x + 2
तथा दूसरा व्यंजक = (x + 2) (x – 1) = x² + x – 2

Ques 8: 9xy² (x + y) तथा 12x²y(x² – y²) का ल.स. होगा

• 12x²y(x² – y²)
• 12x²y²(x² – y²
• 36x²y²(x² – y²)
• 30x²y²(x² – y²)

36x²y²(x² – y²)

Ques 9: माना a तथा b दो व्यंजक हैं जिनके ल.स. तथा म.स. क्रमशः A तथा B हैं। यदि a + b = A = B, तो

• a + 2b = A + 2B
• a – b = A – B
• a² – b² = A² – B²
• a² + b² = A² + B²

a + b = A + B
(a + b)² = (A + B)²
⟹ a² + b² + 2ab = A² + B² + 2AB
व्यंजकों का गुणनफल = उनका ल.स. ⨯ म.स.
ab = AB रखने पर
a² + b² + 2ab = A² + B² + 2AB
⟹ a² + b² = A² + B²

Ques 10: दों व्यंजकों का योग तथा अन्तर क्रमशः 5x² – x – 4 तथा x² + 9x – 10 है। उनका ल.स. होगा

• (x – 1) (3x – 7) (2x – 3)
• (x² – 1) (3x – 7)
• (x – 1) (3x + 7) (2x + 3)
• (x – 1) (3x + 7) (2x – 3)

दिया है, A + B = 5x² – x – 4 …..(i)
A – B = x² + 9x – 10 …..(ii)
समी (i) व (ii) को हल करने पर,
A = 3x² + 4x – 7 = (x – 1) (3x + 7)
तथा B = 2x² – 5x + 3 = (x – 1) (2x – 3)
ल.स. = (x – 1) (3x + 7) (2x – 3)

Ques 11: एक स्कूल में 391 लड़कों एवं 323 लड़कियों को अधिकतम सम्भव समान कक्षाओं में विभक्त किया गया, ताकि छात्रों की कक्षाओं की संख्या छात्राओं की कक्षाओं की संख्या के समान हो, तो प्रत्येक कक्षा में छात्रों एवं छात्राओं की संख्या क्रमशः हैं

• 17,17
• 23,17
• 23,19
• इनमें से कोई नहीं

कक्षाओं की संख्या समान रखनी है। अतः कक्षाओं की संख्या 391 तथा 323 का म.स. होगी।
391 = 17⨯23
323 = 17⨯19
अतः छात्रों की कक्षाएँ = छात्राओं की कक्षाएँ
प्रत्येक कक्षा में छात्र = 23
तथा प्रत्येक कक्षा में छात्रा = 19

Ques 12: n का वह न्यूनतम मान, जिसके लिए (x² – 3x – 4) तथा (x³ – 2x² – nx – 3) के महत्तम समापवर्तक में x सम्मिलित है, है

• 6
• 4
• 29/4
• -1

x² – 3x – 4 = (x + 1) (x – 4)
x² – 2x² – nx – 3 में x = -1 रखने पर
(-1)² – 2(-1)² – n (-1) – 3 = 0
⟹-1 – 2 + n – 3 = 0 ⟹ n = 6
x = 4 रखने पर,
(4)² – 2(4)² – n ⨯ 4 – 3 = 0
⟹64 – 32 – 4n – 3 = 0
⟹ n = 29 / 4 = 7 1/4
न्यूनतम मान = 6

Ques 13 : कोई संख्या, जिसे 5, 6, 7 तथा 8 में से प्रत्येक से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 3 शेष बचता है परन्तु 9 से भाग देने पर शेष कुछ नहीं बचता, वह है

• 1680
• 1683
• 1783
• 1769

5, 6, 7 तथा 8 ल.स.
5 = 5×1, 6 = 2×3
7 = 7×1, 8 = 2×2×2
ल.स. = 2×2×2×3×5×7 = 840
माना अभीष्ट संख्या = (440 k + 3)
अब हमें k का वह छोटे से छोटा मान ज्ञात करना है जिसमें (840k + 3), 9 से पूर्णतया विभक्त हो जाए।
9(840 k + 3) 93 k
837 k / 3k + 3
स्पष्ट है कि k = 2 वह न्यूनतम संख्या है।
अतः अभीष्ट संख्या = (840 × 2) + 3 = 1683

Ques 14: एक माली को पौधों की मिश्रित संख्या लगानी थी। पहले उसने प्रत्येक में 5 पौधे, उसके बाद 6, फिर 8, उसके बाद 9 एवं फिर 12, लेकिन प्रत्येक बार पौधा बच जाता था। एक लाइन में 13 पौधे लगाने पर कोई नहीं बचता। उसके पास पौधों की न्यूनतम संख्या थी

• 3601
• 3610
• 468
• 361

5,6,8,9,12 का ल.स. = 360
पौधों की संख्या 13 से पूर्णतः विभाजित होनी चाहिए। जबकि 5,6,8,9,12 से विभाजित करने पर 1 शेष होना चाहिए।
अतः पौधों की अभीष्ट संख्या = 3601×0 + 1 = 3601

Ques 15: 3,5,8 तथा 9 से विभक्त होने वाली न्यूनतम संख्या, जो पूर्ण वर्ग है, होगी

• 2500
• 3600
• 900
• 1600

3,5,8 तथा 9 का ल.स. = 360
पूर्ण वर्ग संख्या = 360 ×10 = 3600

Ques 16: (72x⁴ + 243x), (24x³ – 54x) और (18x⁴ + 15x³ – 18x² का म.स. होगा

• x (2x + 3)
• 2x (2x + 3)
• 4x(x + 3)
• 3x(2x + 3)

72x⁴ + 243x = 9x (48 – 27) = 9 × [(2x)³ + (3)²]
24x’² – 54x = 6x (4x² – 9) = 6x(2x + 3) (2x – 3)
तथा 18x⁴ + 15x² = 3x² (6x² + 5x – 6)
= 3x²(3x – 2) (2x + 3)
दिए गए व्यंजकों का म.स. = 3x(2x + 3)

Ques 17: यदि (x² + px + q) तथा (5x² – 3px – 15q) का म.स. (x – 3) हो तो p तथा q के मान होंगे

• -5,6
• 5,-6
• -3,-6
• 5,6

-5,6

Ques 18: एक फर्श की लम्बाई (x⁴ – x) मी तथा चौड़ाई (x³ + x² + x) मी है। आँगन में फर्श पर समान माप के वर्गाकार टुकडे लगवाने हैं। आँगन में लगाने वाले टुकड़ों की कम से कम संख्या होगी

• x – 1
• x
• x + 1
• x(x² + x + 1)

x – 1

Ques 19: पद (x² – x² – 13x – 3), (x² – 6x – 27) तथा (x³ – x² – 13x – 3),(x² – 6x- 27) तथा (x² + 21x + 54) का महत्तम समापवर्तक है

• (x + 1) (X-5) (x + 3)
• (x – 1)
• (x + 3)
• इनमें से कोई नहीं

(x + 3)

Ques 20: दो व्यंजकों p(x) और q(x) का लघुत्तम समापवर्त्य (x³ – 7x + 6) है। यदि p(x) = x² + 2x – 3 तथा q(x) = x² + x – 6 हो, तो p(x) व q(x) का महत्तम समापवर्तक है

• (x + 3)
• (x – 3)
• (x + 3) (x – 2)
• (x – 1)

(x + 3)

Ques 21: वह बडी से बडी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 63, 138 और 288 में भाग देने में समान शेष बचे।

• 12
• 17
• 16
• 15

15

Ques 22: छः घण्टियाँ एकसाथ बजनी आरम्भ हुई। यदि ये घण्टियाँ क्रमशः 2,4,6,8,10 तथा 12 सेकण्ड के अन्तराल से बजें, तो 30 मिनट में वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?

• 14
• 16
• 15
• 18

सबसे पहले 2,4,6,8,10 तथा 12 का ल.स. निकाला जाएगा।
2 2, 4, 6, 8, 10, 12
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
3 1, 1, 3, 2, 5, 3
1, 1, 1, 2, 5, 1
ल.स. = 2×2×3×2×5 = 120
अतः प्रत्येक 120 सेकण्ड अर्थात् 2 मिनट बाद इकट्ठी बजेंगी।
अतः 30 मिनट में वे एक साथ बजेंगी = 30/2 + 1 = 16 बार

Ques 23: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसको 10, 20, 30, 40 तथा 50 से भाग देने पर प्रत्येक अवस्था में 7 शेष बचे।

• 507
• 607
• 707
• 807

अभीष्ट संख्या = 10,20,30,40, तथा 50 का ल.स. +7
2 10, 20, 30, 40, 50
2 5, 10, 15, 20, 25
5 5, 5, 15, 10, 25
1, 1, 3, 2, 5
ल.स. = 2×2×5×3×2×5 = 600
अतः अभीष्ट संख्या = 600 + 7 = 607

Ques 24: वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसको 15, 25, 35, तथा 45 से भाग देने पर क्रमशः 7,17,27 तथा 37 शेष बचे।

• 1667
• 767
• 1607
• 1567

भाजक तथा शेषफल का अन्तर = 15 – 7 = 25 – 17 = 35 – 27
= 45 – 37 = 8
अभीष्ट संख्या = 15,25,35 तथा 45 का ल.स. -8
2 15, 25, 35, 45
3 5, 25, 35, 15
1, 5, 7, 3
ल.स. = 3×5×5×7×3 = 1575
अतः अभीष्ट संख्या = 1575 – 8 = 1567

Ques 25: चार अंको की सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए, जो 2,3,4,5,6 और 7 से पूरी तरह भाज्य हो।

• 1260
• 1266
• 1350
• 1255

सबसे पहले 2,3,4,5,6 तथा 7 का ल.स. निकालेंगे।
2 2, 3, 4, 5, 6, 7
3 1, 3, 2, 5, 3, 7
1, 1, 2, 5, 1, 7
ल.स. = 2×3×2×5×7 = 420
चार अंको की सबसे छोटी संख्या जो 2,3,4,5,6 तथा 7 से भाज्य हो, उसे 420 का गुणक होना चाहिए। इसलिए 420×3 = 1260

Ques 26: तीन लकड़ी के शहतीर क्रमशः 36 मी, 54 मी व 63 मी लम्बे हैं तथा इन्हें बराबर लम्बाई के छोटे छोटे गुटखों में बाँटना है, तब प्रत्येक गुटखे की अधिकतम लम्बाई क्या होगी?

• 9 मी
• 18 मी
• 51 मी
• 4.5 मी

यहाँ तीन लकड़ी के शहतीरों की लम्बाई
= (36 मी, 54 मी, 63 मी)
अतः प्रत्येक गुटखे की अधिकतम लम्बाई
= (36 मी, 54 मी, 63 मी)
अतः प्रत्येक गुटखे की अधिकतम लम्बाई (36,54,63) का म.स. = 9 मी

Ques 27: चार घण्टियाँ 4,6,8 और 14 सेकण्ड के अन्तराल में बजती है। वे चारों 12 बजे इकट्ठी बजना प्रारम्भ करती हैं। किस समय वे फिर इकट्ठी बजेंगी?

• 12 बजकर 2 मिनट 48 सेकण्ड
• 12 बजकर 3 मिनट
• 12 बजकर 3 मिनट 20 सेकण्ड
• उपरोक्त में से कोई नहीं

चार घण्टियाँ क्रमशः 4,6,8 और 14 सेकण्ड के अन्तराल में बजती हैं।
अगली बार एक साथ बजने का समय = ल.स. (4,6,8,14)
= 168 सेकण्ड
= 12 मिनट 48 सेकण्ड
अतः 12 के बाद एक साथ बजने का समय
= 12 बजकर 2 मिनट 48 सेकण्ड