प्रिज्म, पिरामिड तथा शंकु Prism Pyramid and Cone Questions in Hindi

Ques 1: यदि h, cऔर v क्रमशः ऊँचाई, वक्रपृष्ठ और शंकु का आयतन हैं, तो 3πvh² – c² h² + 9v² का मान है

• 4
• 6
• 7
• 0

शंकु की ऊँचाई = h
शंकु का वक्रपृष्ठ (c) = πrl = πr√r² + h²
शंकु का आयतन (v) = 1 / 3πr² h
तब, 3πvh³ – c² h² + 9v²
= 3π×1 / 3πr² h×h² – π² r² (r² + h²) h² + 9⨯1 / 9 π²r⁴ h²
= π² r² h² – π² r² h² (r² + h²) + π² r⁴ h²
= π² r² h² (h² + r² – r² – h²) = π² r² h².0 = 0

Ques 2: यदि किसी शंकु के आधार का अर्द्धव्यास दोगुना कर दिया जाए तथा उसकी ऊँचाई में कोई परिवर्तन न किया जाए, तो नए शंकु के आयतन का प्रारम्भिक शंकु के आयतन से अनुपात होगा

• 1 : 2
• 2 : 1
• 1 : 4
• 4 : 1

माना प्रारम्भिक शंकु के आधार का अर्द्धव्यास x तथा ऊँचाई h है, तब आयतन = 1/3 πx² h
लेकिन आधार की त्रिज्या दोगुनी कर देने पर आयतन = 1/3 π(2x)²) h
अभीष्ट अनुपात = 1/3 π4x² h / 1/3 πx² = 4/1 = 4 : 1

Ques 3: एक प्रिज्म का आधार समषट्भुज है। उसके शीर्षों की संख्या होगी

• 6
• 12
• 36
• 24

12

Ques 4: एक प्रिज्म का आधार भुजाओं वाला एक बहुभुज है। कोरों की संख्या होगी

• n + 3
• n‘2
• 3n
• 2n

n भुजाओं वाले बहुभुज के कोरों की संख्या = 3n

Ques 5: एक त्रिभुजीय प्रिज्म की प्रत्येक कोर समान लम्बाई की है। यदि प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठ 12 वर्ग सेमी हो, तो उसकी एक कोर की लम्बाई होगी

• 4 सेमी
• 3 सेमी
• 2 सेमी
• इनमें से कोई नहीं

माना आधार की भुजा = x प्रिज्म की ऊँचाई = x
∴ पार्श्व पृष्ठ = परिमाप × ऊँचाई = 3x × x = 3x²
⟹3x² = 12
x = 2 सेमी

Ques 6: एक प्रिज्माकार पात्र में कुछ ऊँचाई तक जल भरा है। इस प्रिज्म का आधार समबाहु त्रिभुज है। जिसकी भुजा की माप 6 सेमी है। इसमें एक घन डाला जाता है जिसकी भुजा 3 सेमी है। अगर घन जल में पूरी तरह डूब जाता है, तो जल के स्तर में वृद्धि होगी

• √2 सेमी
• 3 सेमी
• √3 सेमी
• 1/√3 सेमी

प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल = √3/4 (6)² = 9√3 वर्ग सेमी घन द्वारा हटाए गए जल का आयतन = घन का आयतन = (3)³ = 27 घन सेमी
∴ घन के डूबने पर जल के स्तर में वृद्धि
= घन का आयतन / पात्र के आधार का क्षेत्रफल = 27 / 9√3 = √3 सेमी

Ques 7: 90 सेमी लम्बाई तथा 60 सेमी चौड़ाई के एक कागज से दो प्रिज्म बनाए जाते हैं जिसके आधार समबाहु त्रिभुज हैं। समबाहु त्रिभुज, एक बार लम्बाई के छोर से तथा दूसरी बार चौड़ाई के छोर से बनाए जाते हैं या प्रत्येक बार दूसरा छोर प्रिज्म की ऊँचाई के रूप में प्रयुक्त होता है। 60 सेमी भुजा को ऊँचाई मानते हुए बने प्रिज्म के आयतन तथा 90 सेमी भुजा को ऊँचाई मानते हुए बने प्रिज्म के आयतन का अनुपात होगा

• 4 : 3
• 3 : 2
• 9 : 4
• इनमें से कोई नहीं

पहली स्थिति में
प्रिज्म की ऊँचाई = 60 सेमी
आधार का परिमाप = 90 सेमी
आधार की भुजा = 90 / 3 = 30 सेमी
दूसरी स्थिति में
ऊँचाई = 90 सेमी
आधार की भुजा = 60 / 3 = 20 सेमी
आयतनों का अनुपात = √3 / 4 (30)²×60 / √3/4 (20)² × 90 = 3 / 2 = 3 : 2

Ques 8: एक सम पिरामिड का आधार 10 सेमी भुजा वाला वर्ग है तथा इसकी ऊँचाई 12 सेमी है, तो इसका तिर्यक पृष्ठ होगा

• 520 सेमी²
• 260 सेमी²
• 40√61 सेमी²
• 80√61 सेमी²

तिर्यक ऊँचाई
VW = √(12² + (5)² = 13 सेमी
तिर्यक पृष्ठ = 1/2× आधार का परिमाप × तिर्यक ऊँचाई
= 1/2×(4×10) ×13 = 260 वर्ग सेमी

Ques 9: यदि एक वृत्ताकार शंकु के आधार का व्यास 6 सेमी तथा तिर्यक ऊँचाई 8 सेमी है, तो अक्षीय काट का क्षेत्रफल वर्ग सेमी में है

• 144
• 3√55
• 10
• इनमें से कोई नहीं

शंकु की अक्षीय काट एक त्रिभुज की आकृति होगी, जैसा चित्र में प्रदर्शित है।
∆ADB में, AD² = AB² – BD²
= (b)² (3)² = 64 – 9 = 55
⟹AD = √55 सेमी
अतः अक्षीय काट का क्षेत्रफल = ∆ABC का क्षेत्रफल
= 1/2×6×√55 सेमी

Ques 10: एक 12 मी लम्बे भुजा वाले वर्गाकार मैदान पर 20 मी ऊँचे पिरामिड के आकार का तम्बू तानना है, तो आवश्यक कपड़े की मात्रा होगी

• 360 वर्ग मी
• 501.6 वर्ग मी
• 960 वर्ग मी
• 1440 वर्ग मी

तिर्यक ऊँचाई = √20² +6² = √436 = 20.9
तिर्यक पृष्ठ = 1/2× आधार का परिमाप× तिर्यक ऊँचाई
=1/2×(4×12)×20.9 = 501.6 वर्ग मी
आवश्यक कपड़ा = 501.6 वर्ग मी

Ques 11: एक लम्ब वृत्तीय शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण 300 और तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है। शंकु का आयतन होगा

• 8√3 π / 3 सेमी³
• 8√3 π सेमी³
• 16√3 π / 4 सेमी³
• 8√3 π / 4 सेमी³

h/4 = cos⁡ 30⁰
⟹ h = 4⨯√3/2 = 2√3 सेमी
तथा r / 4 = sin 30⁰
⟹r = 4⨯1/2 = 2 सेमी
आयतन = 1/3⨯π×2×2×2√3 = 8√3/3 घन सेमी

Ques 12: किसी त्रिभुज की भुजाएँ 12 सेमी तथा 5 सेमी हैं तथा इन भुजाओं के बीच का कोण समकोण है। यदि त्रिभुज को 12 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार शंकु का वक्रपृष्ठ होगा

• 156π सेमी²
• 78π सेमी²
• 65π सेमी²
• 130π सेमी²

12 सेमी वाली भुजा के परितः घुमाने से बने शंकु के आधार की त्रिज्या r = 5
सेमी तथा ऊँचाई h = 12 सेमी हैं
l = √5² + 12² = 13 सेमी
वक्रपृष्ठ = πrl = π⨯5⨯13
= 65π वर्ग सेमी

Ques 13 : एक लम्ब पिरामिड की ऊँचाई 12 सेमी और आधार 6 सेमी भुजा का वर्ग है। उनमें से दीर्घतम सम्भव घन काटा जाता है। जिसका एक फलक पिरामिड के आधार में है। घन की कोर होगी

• 2 सेमी
• 3 सेमी
• 6 सेमी
• 4 सेमी

∆VOC तथा ∆VO’C’ समरूप हैं।
OV / VO’ = OC / O’C ⟹ 12 / 12 – x = 6√2 / x√2
⟹12x = 72 – 6x ⟹18x = 72
⟹x = 4 सेमी

Ques 14: एक पिरामिड तथा एक बेलन के आधार के क्षेत्रफल समान हैं तथा उनकी ऊँचाइयाँ भी समान हैं, तो उनके आयतनों का अनुपात है

• 3 : 1
• 1 : 1
• 2 : 1
• 1 : 3

1 : 3

Ques 15: एक शंक्वाकार पर्वत की तिर्यक ऊँचाई 2.5 किमी है और उसके आधार का क्षेत्रफल 1.54 किमी² है। पर्वत की ऊँचाई है

• 2.2 किमी
• 2.4 किमी
• 3 किमी
• 3.11 किमी

आधार का क्षेत्रफल = 1.54 किमी²
⟹πr² = 1.54
⟹r² = 0.49
⟹r = 0.7 किमी
∴ h = √(2.5)² – (0.7)²
= √625 – 0.49 = 2.4 किमी

Ques 16: h ऊँचाई वाले बेलन के वक्रपृष्ठ तथा समान वृत्ताकार आधार क्षेत्रफल के शंकु जिसकी तिर्यक ऊँचाई h / 2 है, के वक्रपृष्ठ का अनुपात है

• 5 : 4
• 4 : 3
• 4 : 1
• 1 : 9

बेलन का वक्रपृष्ठ = 2πrh
शंकु का वक्रपृष्ठ = πr = (h/2) = πrh / 2
∴ अभीष्ट अनुपात = 2πrh / πrh/2 = 4 / 1 = 4 : 1

Ques 17: किसी पिरामिड की तीन आसन्न कोरें परस्पर लम्ब हैं। उनकी लम्बाइयाँ 3,4 और 5 सेमी हैं। उनका आयतन होगा

• 10 सेमी³
• 20 सेमी³
• 30 सेमी³
• 60 सेमी³

V = 1/3 आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई
= 1/3 (1/2×3×4)×5
= 10 सेमी³

Ques 18: एक लम्ब पिरामिड का आधार 6 मी भुजा का समबाहु त्रिभुज है। यदि उसकी पार्श्व कोर 5 मी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठ वर्ग मी में होगा

• 18(2 + √3)
• 9(4 + √3)
• 9(8 + √3)
• 18(4 + √3)

9(4 + √3)

Ques 19: 28 सेमी व्यास की वृत्ताकार धातु की चादर से उसके केन्द्र के साथ 400 का कोण बनाने वाले टुकड़े, जो प्रिज्म खण्ड के रूप में है, को काटा जाता है। बची हुई चादर को शंकु में परिवर्तित किया जाता है। शंकु का व्यास होगा

• 20.84 सेमी
• 11.25 सेमी
• 24.88 सेमी
• इनमें से कोई नहीं

वृत्ताकार चादर की परिधि = πd = 28π
400 का कोण बनाने वाले चाप की लम्बाई
l = θ/360×2πr = 40/360×2π×14,l = 28π/9
इस लम्बाई के त्रिज्यखण्ड को काट देने पर शेष परिधि = 28π – 28π / 9= 224π/9, इस बची हुई परिधि को शंकु के आधार पर परिवर्तित किया गया है।
अतः शंकु की आधार परिधि, πd = 224π/9
⟹d = 24.88 सेमी

Ques 20: लकड़ी के एक लम्बवृत्तीय शंकु की ऊँचाई 15 सेमी तथा आधार की त्रिज्या 6 सेमी है। शंकु को ठीक इतना काटा जाता है कि उसी ऊँचाई का तथा समबाहु त्रिभुजीय आधार का पिरामिड बन जाए। शंकु और पिरामिड के आयतनों का अनुपात होगा

• π : 3√3
• 4π : 3√3
• 3π : √3
• π : 4√3

शंकु का आयतन v₁ = ⅙ π⨯6²⨯15 = 180π
शंकु का वृत्तीय आधार जो समबाहु ∆ABC बनेगा,
उसमें AD / OA = sin⁡ 60⁰
⟹AD = OA ⨯√3/2 = 6√3/2 = 3√3
AB = 2AD = 2⨯3√3 = 6√3
पिरामिड का आयतन V₂ = 1/3 A⨯h = 1/3⨯(6√3)² √3 / 4⨯15
135√3
= v₁/ v₂ = 180π/135√3 = 4π/3√3
∴V₁, V₂ = 4π : 3√3

Ques 21: एक शंकु तथा बेलन के आधारीय तथा वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल समान हैं। यदि बेलन की ऊँचाई 2 मी है, तो शंकु की तिर्यक ऊँचाई है

• 2 मी
• 4 मी
• 6 मी
• 8 मी

बेलन व शंकु के आधार समान हैं। अतः त्रिज्या भी समान होगी।
बेलन की ऊँचाई h = 2 मी
परन्तु बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = शंकु का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल
⟹2πrh = πrl ⟹2h = l
⟹l = 2⨯2 = 4 मी

Ques 22: सर्कस का एक तम्बू 2 मी ऊँचाई तक बेलनाकार और फिर शंक्वाकार है। यदि उसका व्यास 30 मी तथा तिरछा ऊँचाई 25 मी हो, तो उसमें कैनवास लगेगी

• 435π मी²
• 375π मी²
• 360 π मी²
• 960 π मी²

कैनवास = बेलन का पृष्ठ + शंकु का तिर्यक पृष्ठ
= 2π⨯15⨯2 + π⨯15⨯25
60π + 375π = 435π वर्ग मी

Ques 23: किसी शंक्वाकार तम्बू के निर्माण के लिए 264 वर्ग मी कपड़ा दिया गया और 12 मी तिर्यक ऊँचाई का तम्बू बनाया गया। उस तम्बू की ऊँचाई होगी

• 5 मी
• √87 मी
• √95 मी
• 13 मी

√95 मी

Ques 24: उस शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण होगा, जिसकी ऊँचाई उसकी तिर्यक ऊँचाई की आधी है

• 300
• 600
• 450
• 900

600

Ques 25: 3 मी ऊँचा ऐसा शंक्वाकार डेरा बनाया गया है कि उसमें दो मी ऊँचाई का व्यक्ति कन्द्र से 1 मी की त्रिज्या के वृत्त में सीधा खड़ा हो सके। ऐसे डेरे के लिए किरमिच चाहिए

• 40 वर्ग मी
• 50 वर्ग मी
• 30 वर्ग मी
• 60 वर्ग मी

माना OB = r
∴∆VOB तथा ∆VO’B’ समरूप हैं।
∴VO / VO’ = OB / O’B’
⟹3/1 = r/1
⟹r = 3 मी
तिर्यक ऊँचाई l = VB √VO² + OB²
= √3² + 3² = 3√3 मी
आवश्यक किरमिच = πrl = 22/7⨯3⨯3√2
= 39.996 = 40 वर्ग मी

1. बेसिक गणित
2. कार्य तथा समय – Practice Questions
3. चाल दूरी और समय – Practice Questions
4. त्रिभुज से सम्बंधित प्रश्न Triangles MCQ Questions
5. प्रतिशतता के प्रश्न Percentage Questions in Hindi
6. औसत के महत्वपूर्ण प्रश्न Average MCQ Questions
7. साधारण तथा चक्रवृद्धि ब्याज Simple and Compound Interest
8. (लाभ, हानि एवं बटटा) Profit and Loss
9. क्षेत्रफल तथा परिमाप Area and Perimeter MCQ Questions
10. घन, घनाभ तथा बेलन Cube, Cuboid and Cylinder MCQ
11. प्रिज्म, पिरामिड तथा शंकु Prism Pyramid and Cone
12. (बहुपद एवं गुणनखण्ड) Polynomial and Factors
13. लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक LCM and HCF