त्रिकोणमितीय फलन एवं सर्वसमिकाएँ (Trigonometric Functions and Identities)

Ques 1: यदि cosec x + cot x = a, तो cos x होगा

• a – 1 / a² + 1
• a² – 1 / a² + 1
• 2a / a² + 1
• 2a / a² – 1

cosec x + cot x = a
cosec x + cot x = 1 / cosec x – cot x = a
⟹cosec x – cot x = 1 / a
⟹2 cosec x = a + 1 / a = a + 1 / a
⟹cosec x = a’2 + 1 / 2a
⟹ sin 2a / a’2 + 1
⟹ cos x = √1 – sin² x
= √1 – (2a / a² + 1)²= √1 – 4a² / (a² + 1)²
= √(a² + 1)² – 4a² / (a² + 1)²
= √(a² – 1)² / (a² + 1)² = a² – 1 / a² + 1

Ques 2: यदि ∆ABC में, 0 तथा sin A = 12 / 13 तो sin A sin C का मान होगा

• 60/169
• 48/169
• 72/169
• इनमें से कोई नहीं

दिया है, sin A = 12/13
sin C = 5 / 13
sin A sin C = 12 / 13 ⨯ 5 / 13 = 60 / 169

Ques 3: यदि tan A = x / y, तो cos A का मान होगा

• y / √(x² + y²)
• x / √(x² + y²)
• √(x² + y²) / y
• √(x² + y² / x)

tan A = x / y
cos A = 1 / sec A = 1 / √a + tan² A
= 1 / √1 + x² / y² = y / √x² + y²

Ques 4: यदि tan A = 60 / 11, तो sin² A – cos² A का मान होगा

• 3479 / 3721
• 3400 / 3700
• 3456 / 3725
• इनमें से कोई नहीं

कर्ण √(60)² + (11)²
= √3721 = 61
sin²A – cos²A = (60/61)² – (11 / 61)² = 3600 – 121 / 3721 = 3479 / 3721

Ques 5: यदि 4 tan θ = 5 तो 2sin θ + 2 cos ⁡θ / 6 cos θ – 3 sin ⁡θ का मान होगा

• 2.5
• 3/4
• 18
• 2

4 tan θ = 5
⟹tan θ = 5/4
अब, 2 sin θ + 2 cos θ / 6 cos θ – 3 sin θ = (2 tan θ + 2) cos θ / (6 – 3 tan θ) cos θ
= 2 × 5/4 + 2 / 6 – 3 × 5/4 = 9/2 / 9/4 = 2

Ques 6: tan x – 1 – cot x + cot x / 1 – tan x का मान बराबर है

• tan x + cot x
• 1 – sin x cos x
• 1 + sec x cosec x
• 1 – sec x cosec x

tan x / 1 – cot x + cot x / 1 – tan x = tan x 1 – 1/tan x + 1 / tan x / 1 – tan x
= tan² x / tan x -1 – 1 / tan x(tan x – 1) = tan² x – 1 / tan x (tan x – 1)
= (tan x – 1) (tan²x + 1 + tan x) / tan x (tan x – 1)
= 1 + sec x cosec x

Ques 7: यदि tan θ = √e² – 1, तो sec θ + tan² θ× cosec θ का मान होगा

• e³
• e³/2
• (e² – 1)³/2
• (e² – 1)7²

tan θ = √e² – 1
⟹tan² θ = e² – 1
⟹1 + tan² θ = e²
⟹ sec²θ = e²
⟹ sec θ = e
⟹ cos θ = 1/e
⟹sin θ = √ 1 – 1 / e² = √e² – 1 / e
⟹cosec θ = e / √e² – 1
sec θ + tan² θ ⨯ cosec θ
e + (e² – 1)3/2 e / (e² – 1)1/2 = e + (e² – 1) = e³

Ques 8: यदि sin θ = x² – y² / x² + y², तो cos⁡ θ का मान होगा

• 2x²y² / x² + y²
• 2xy / x² + y²
• 2x² y² / x² – y²
• 2xy / x² – y²

2xy / x² + y²

Ques 9: यदि cot θ + cosec θ = 5, तो sin ⁡θ का मान होगा

• 15/17
• -15/17
• 12/13
• -1213

cot θ + cosec θ = 5
⟹1 + cos θ / sin θ = 5
⟹1 + cos θ / sin θ)² = (5 sin θ)²
⟹1 + cos² θ + 2 cos θ = 25 – 25 cos² θ
⟹26 cos² θ + 2 cos θ = 24
⟹13 cos² θ + cos θ – 12 = 0
⟹cos θ = 12 / 13 या cos θ = -1

Ques 10: यदि 2 sin ⁡θ = 2 – cos θ, तो sin ⁡θ के मान होंगे

• -1,3/5
• 1,-3/5
• -1, -3/5
• 1,3/5

2 sin θ = 2 – cos θ
⟹cos θ = 2 – 2 sin θ
⟹cos θ = 2(1 – sin θ)
⟹cos² θ = 4(1 – sin θ)²
⟹1 – sin² θ = 4 + 4 sin² θ – 8 sin θ
⟹5 sin² θ – 8 sin + 3 = 0
⟹(5 sin θ – 3) (sin θ – 1) = 0
⟹ sin θ = ⅗ या sin θ = 1

Ques 11: यदि 3 sec² θ = 2 + 2 tan θ, तो tan⁡ θ के मान होंगे

• 1, -√3
• √2 + 1
• √2 – 1
• √2 + 2

sec² θ = 2 + 2 tan θ
⟹ 1 + tan² θ = 2 + 2 tan θ
⟹tan² θ – 2 tan θ – 1 = 0
⟹ tan² θ – 2 tan⁰ 1 = 0
⟹tan θ = 2 √4 +4 / 2 = 2 2√2 / 2
⟹tan θ = √2 + 1

Ques 12: यदि sec θ + tan θ = p तब p ≠ 0, तो sin ⁡θ का मान है

• p² + 1 / 2p
• p² – 1 / p² + 1
• 2p / p² + 1
• इनमें से कोई नहीं

p² – 1 / p² + 1

Ques 13 : यदि x + 1/x = 2 cos ⁡θ, तब x³ + 1 / x² का मान होगा

• 2 cos³ θ
• 2 cos3 θ
• 8 cos³ θ
• cos 3 θ

sec θ + tan θ
⟹1 / cos θ + sin θ / cos θ = p
⟹(1 + 2 som θ)² / cos’2 θ = p’2 / 1
⟹1 + 2 sin θ + sin’2 θ / 1 – sin’2 θ = p’3 / 1
⟹(1 + 2 sin θ + sin’2 θ) – (1 – sin’2 θ) / (1 – sin’2 θ) = p’2 – 1 / p’2 + 1 (योगान्तरानुपात नियम से)
⟹2 sin θ + sin’2 θ / 2 + 2 sin θ = p’2 – 1 / p’2 + 1
⟹2 sin θ (1 + sin θ) / 2(1 + sin θ) = p’2 – 1 / p’2 + 1)
⟹ sin θ = p’2 – 1 / p’2 + 1

Ques 14: √(1 + cos θ / 1 – cos θ)⁡ का सरलतम मान है

• cosec θ – cot θ
• sec θ + tan θ
• cosec θ + cot ⁡θ
• इनमें से कोई नहीं

दिया है, x + 1 / x = 2 cos θ
तब, x’3 + 1 / x’2 = (x + 1/x)’3 – 3 (x + 1 / x) = (2 cos θ)’3 – 3(2 cos θ)
= 2(4cos’3 – 3 cos θ) = 2 cos 3 θ

Ques 15: यदि sin θ + cos θ = 1/√2, तो 4 sin θ cos ⁡θ का मान होगा

• √2
• -√2
• 1
• -1

√1 + cos θ / 1 – cos θ ⨯ √1 + cos θ / √ 1 + cos θ = 1 + cos θ / √ 1 – cos’2 θ = 1 + cos θ / sin θ

Ques 16: tan A + sec A – 1 / tan A – sec A + 1 का मान बराबर है

• sec A + tan A
• sec A – tan A
• tan A – sec A
• tan A – sec – 1

tan A + cosec A – 1 / tan A – sec A + 1
= tan A + sec A – (sec’2 A – tan’2 A) / tan A – sec A + 1
= (sec A + tan A) – (sec A – tan A) (sec A + tan A) / tan A – sec A + 1
= (sec A + tan A) (1 – sec A + tan A) / tan A – sec A + 1 = sec A + tan A

Ques 17: cot α के बराबर है

• cosec α√1 + sin’2 a
• cosec a √1 – sin’2 a
• cosec a / √1 + sin’2 a
• cosec a / √1 – sin’2 a

cot a = cos a / sin a = √1 – sin’2 a / sin a
= cosec a √1- sin’2 A

Ques 18: cosec θ / cosec θ – 1 + cosec θ / cosec θ + 1 का मान बराबर है

• 2 cosec’2 θ
• 2 cos’2 θ
• 2 cot’2 θ
• 2 sec’2 θ

Ques 19: यदि 3 cos x = 4 sin x, तो 5 sin x – 2 sec’2 x + 2 cos x / 5 sin x + 2 sec’2 x – 2 cos x का मान है

• 361/2397
• 271/979
• 541/979
• 127/979

3cos x = 5 sin x
⟹tan x = 3 / 5
∴5 sin x – 2 sec’2 x + 2 cos x / 5 sin x + 2 sec’2 x – 2 cos x
= 5 tan x – 2(1 + tan’2 x)’2 + 2 / 5 tan x + 2(1 + tan’2 x)’2 – 2
= 5 × 2 / 5 – 2 (1 + 9/35)’2 + 2 / 5 × ⅖ + 2(1 + 9 / 25)’2 -2 = 813 / 2937 = 271 / 979

Ques 20: cos’6 A – sin’6 A को लिखा जा सकता है

• (cos’2 A – sin’2 A)’3
• (cos’3 A + sin’2 A)’3
• (cos’2 A – sin’2 A) (1 – sin’2 A cos’2 A)
• (cos’2 A – sin’2 A) (1 + sin’2 A cos’2 A)

cos’2 A – sin’6 A
= (cos’2 A)’3 – (sin’2 A)’3
= (cos’2 A + sin’2 A) (cos’4 A + sin’4 A + cos’2 A sin’2 A)
= (cos’2 A – sin’2 A) [(cos’2 A + sin’2 A)’2 – cos’2 A sin’2 A]
= (cos’2 A – sin’2 A) (1 – cos’2 A sin’2 A)

1. बेसिक गणित
2. कार्य तथा समय – Practice Questions
3. चाल दूरी और समय – Practice Questions
4. त्रिभुज से सम्बंधित प्रश्न Triangles MCQ Questions
5. प्रतिशतता के प्रश्न Percentage Questions in Hindi
6. औसत के महत्वपूर्ण प्रश्न Average MCQ Questions
7. साधारण तथा चक्रवृद्धि ब्याज Simple and Compound Interest
8. (लाभ, हानि एवं बटटा) Profit and Loss
9. क्षेत्रफल तथा परिमाप Area and Perimeter MCQ Questions
10. घन, घनाभ तथा बेलन Cube, Cuboid and Cylinder MCQ
11. प्रिज्म, पिरामिड तथा शंकु Prism Pyramid and Cone
12. (बहुपद एवं गुणनखण्ड) Polynomial and Factors
13. लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक LCM and HCF