रैखिक तथा द्विघात समीकरण (Linear and Quadratic Equations)

Ques 1: समीकरण x² – 10x + 11 = 0 के मूलों का हरात्मक माध्य है?

• 1/5
• 11/5
• 5/21
• 21/20

माना मूल α,β हैं, तो
हरात्मक माध्य = 2αβ / α + β = 11×2 / 10 = 11 / 5

Ques 2: समीकरण (p-q)x² + (q – r) x / – (r – p) = 0 के मूल है

• p – q / r – p . 1
• q – r / p – q . 1
• r – p / p – q . 1
• p – q / r – p . r – p / p – q

(p – q) x² + (q + r) x + (r – q) = 0
x = (r – q) √(a – r)² – 4 (r – p) (p – q) / 2 (p – q)
= (r – q) (q + r – 2q) / 2(p – q) = r – p / p – q . 1

Ques 3: युगपत समीकरणों 2x + b^{1</,sub>y + c₁ = 0 और x + b₂y + c₂ = 0 के अनन्त अनेक हल होंगे, यदि}

• b₁ = b₂, c₁ = c₂
• b₁ = 2b₂ , c₁ = 2c₂
• b₁= 2 b₂ , c₂ = 2c₁
• b₁ = b₂, c₁ ≠ c₂

युगपत समीकरण
2x + b₁ y + c₁ = 0
x + b₁ / 2 y + c₁ / 2 = 0
तथा
समीकरण x + b₂ y + c₂ = 0
के अनन्त हल होंगे, तब
जब b₁ / 2 = b₂ ⟹ b₁ = 2b₂
तथा c₁ / 2 = c₂ ⟹ c₁ = 2c₂

Ques 4: यदि समीकरण x² – px + 8p – 15 = 0 के दोनों मूल समान हैं, तो p का मान है

• 3 या 5
• 2 या 5
• 3 या 4
• 2 या 3

माना समीकरण x² – px + 8p – 15 = 0
के दो समान मूल (a ,a) हैं।
तब, मूलों का योगफल = a + a = -(-p / 1)
2a = p ⟹ a = p/2
मूलों का गुणनफल = a,a = (8p – 15) / 1
a² = 8p – 15
(p/2)² = 8p – 15
p² / 4 = 8p – 15 ⟹ p² = 32p – 60
p² – 32[ + 60 = 0
p(p – 30) – 2 (p – 30) = 0
(p – 2) (p – 30) = 0
अतः p का मान = (2 या 3)

Ques 5: समीकरणों x + y = 13 और 2x + 3y = 32 का हल है

• x = 4, y = 8
• x = 4, y = 9
• x = 3, y = 10
• x = 7, y = 6

ज्ञात समीकरणें निम्न हैं
2x + 3y = 32 …..(i)
तथा x + y = 13 …..(ii)
समी (ii) मे 2 से गुणा करके समी (i) में से घटाने पर,
y = 6
समी (ii) से, x = 13 – y ⟹ 13 – 6 = 7

Ques 6: समीकरण 2x² – 11x + 5 = 0 में मूलों का योगफल होगा

• 5/2
• 11/2
• 2/5
• इनमें से कोई नहीं

दी गई समीकरण ax² – 11x + 5 = 0 हैं
मूलों को योगफल = -x का गुणांक/ x² का गुणांक = 11/2

Ques 7: वह समीकरण जिसके मूल 5 व 3 हैं होगी

• x² – x 8x + 15 = 0
• x² + 8x + 15 = 0
• x² + 8x – 15 = 0
• x² – 8x – 15 = 0

x² – x 8x + 15 = 0

Ques 8: यदि x² – 16x + k = 0 के मूल बराबर हैं, तो k का मान होगा

• 7 1/9
• 8 2/9
• 1 7/9
• इनमें से कोई नहीं

हम जानते है कि ax² + bx + c = 0 के मूल बराबर होते हैं, यदि b² = 4ac यहाँ a = 1, b = -16, c = k
– 16 ⨯ – 16 = 4k
⟹ k = 64

Ques 9: x² – 5x + 6 = 0 के मूल होंगे

• वास्तविक और समान
• वास्तविक और असमान
• परिमेय और असमान
• अधिकल्पित (काल्पनिक)

वास्तविक और असमान

Ques 10: K के निश्चित मान के लिए a² – 3ka + 3k² – 1 = 0 के मूलों का गुणनखण्ड 26 हैं, तो मूल होंगे

• धनात्मक एवं पूर्णांक
• ऋणात्मक एवं पूर्णांक
• अधिकल्पित
• वास्तविक एवं असमान

दी गई समीकरण a² – 3k(a) + (3 k² – 1) = 0 हैं।
मूलों का गुणनफल = 3k² – 1 = 26 ⟹ k = 3
माना k = 3
तब समीकरण a² – 9a + 26 = 0 है
अब, b² – 4ac – 81 – 4 × 26 < 0
अतः मूल अधिकल्पित होंगे।

Ques 11: यदि x + y + z – 6, xy + yz + zx = 11 हो, तो x² + y² + z² का मान होगा

• 25
• 36
• 14
• 58

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx)
⟹ (6)² + x² + y² + z² + 2 (11)
⟹ x² + y² + z² = 14

Ques 12: यदि समीकरण a² + aa + b = 0 और a² + ba + a = 0 का एक मूल उभयनिष्ठ हो, तो (a + b) का मान होगा

• 1
• 1/2
• -1
• 2

माना दोनों का उभयनिष्ठ मूल a है।
तब, a² + aa + b = 0
a² + ba + a = 0
वज्र गुणन विधि द्धारा तथा हल करने पर,
a² / a² – b² = a / b – a = 1 / b – a
∴a / b – a = 1 / b – a
⟹ a = 1 ……(i)
तथा a² / a² – b² = a / b – a
⟹ a = a² – b² / b – a = (a + b) ….(ii)
समी (i) और (ii) से,
1 = -(a + b)
⟹ a + b = -1

Ques 13 : यदि समीकरण cx² + ax + b = 0 के मूल α,β हैं, तो वह समीकरण जिसमें मूल a_-1 तथा β^-1 हैं, होंगे

• ax² + cx + b = 0
• bx² – ax + c = 0
• bx² + ax + c = 0
• cx² + bx + c = 0

यहाँ α + β = – a / c
और α.β = b / c ⟹ a^-1 β^-1 = c / b
अब a^-1 + β^-1 = 1 / a + 1 / β = a + β / αβ = – a / c / b / c = -a / b
अतः वह समीकरण जिसके मूल a^-1 और β^-1 हैं निम्न हैं
x² – (a^-1 + β^-1) x + (a^-1) (β^-1) = 0
⟹ x² – (-a / b) x + c / b = 0
⟹ bx² + ax + c = 0

Ques 14: यदि x² – px + q = 0 के मूल α,β हैं, तो a² + β² का मान होगा

• p + q
• p² + q²
• p² – 2q
• p² – 2q²

x² – px + q = 0
α + β = p, αβ = q
अब, (α + β)² + a² + β² + 2αβ
⟹p² = a² + β² + 2αβ
⟹p² = a² + β² + 2q

Ques 15: एक दिन में राम की आमदनी, रवि की आमदनी से रु 3 ज्यादा है। यदि उनकी प्रतिदिन की आमदनी का गुणनफल रु 460 हो, तो राम की प्रतिदिन की आमदनी होगी

• रु 17
• रु 20
• रु 23
• रु 26

माना रवि की आमदनी = x
राम की आमदनी = (x + 3)
x(x + 3) = 460
⟹x’2 + 3x – 460 = 0
⟹(x + 23) (x – 20) = 0
⟹ x = 20
राम की आमदनी = 20 + 3 = 23

Ques 16: समीकरण (a² – bc) x² + b2(-ac)x + (c² – ab) = 0 के मूल बराबर होंगे, यदि

• a + b + c = 0
• a + b + c = abc
• a³ + b³ + c³ = 3abc
• a² + b² + c² = 2abc

मूल बराबर हैं
[2(b² – ac)² – 4(a² – bc) (c² – ab) = 0
⟹(b² – ac)² – (a² – bc) (c² – ab) = 0
⟹b⁴ + a² c² – 2b² ac – a² c² + a³ b + bc³ = 0
⟹b⁴ – 3b² ac + a³ b + bc³ = 0
⟹ b[b³ – 3abc + a³ + c²] = 0
⟹ a³ + b³ + c³ = 3abc

Ques 17: यदि x = √[12 + √12 + √{12 + ⋯.∞})] तो x का एक मूल होगा

• -3
• 3
• -4
• 12

x = √12 + √12 + √12 +⋯.∞
x = √12 + x
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
x² = 12 + x
⟹x’2 – x – 12 = 0
⟹(x – 4) (x + 3) = 0
⟹x = 4, – 3

Ques 18: यदि समीकरण px² + qx + r = 0 के मूल a, b हों, तो समीकरण, जिसके मूल 1 / a, 1 / b, हैं, होगी

• rx² + qx + p = 0
• qx² – px – 4 = 0
• qx² – px – 4 = 0
• rx² – qx + p = 0

समीकरण के सूत्र
x² – (मूलों का योग) x + मूलों का गुणनफल = 0
मूलों का योग = 1/a + 1/b = a+b / ab
मूलों का गुणनफल = 1/a ⨯ 1/b = 1/ab
a व b के मूल की दी गई समीकरण px² + qx + r = 0 से
मूलों का योग, a + b = -q / p (-b/a) से
मूलों का गुणनफल, ab = r / p (c/aसे)
a + b / ab = -q/p / r/p = -q / r ⨯ p / r = (-q / r)
जबकि 1 / ab = 1 / r/p = p/r
अतः अभीष्ट समीकरण ⟹ x² – (-q / p)x + p / r = 0
⟹x² + q / r x + p / r = 0
rx² + qx + p = 0

Ques 19: यदि 6 = √[x + √{x + √(x + ⋯∞)}] तो x का मान होगा

• 36
• 30
• 25
• 20

30

Ques 20: यदि x / a – b = y / b – c = z / c – a तो x + y + z का मान होगा

• a + b + c
• 2a + b – 3a
• 0
• 4a + 3b

Ques 21: A और B की मासिक आय 5 : 6 के अनुपात में है तथा उनके मासिक व्यय का अनुपात 3 : 4 हैं। यदि वे प्रतिमाह क्रमशः रु1800 और रु 1600 की बचत करते हैं, तो B की मासिक आय है ?

• रु 3400
• रु 2700
• रु 1720
• रु 7200

माना A तथा B की मासिक आय क्रमशः 5x तथा 6x हैं तथा मासिक व्यय क्रमशः 3y तथा 4y हैं
प्रश्नानुसार,
5x – 3y = 1800 …..(i)
तथा 6x – 4y = 1600 ….(ii)
समी (i) तथा (ii) को हल करने पर x = 1200
B की मासिक आय = रु 7200

Ques 22: दो अंकों की एक संख्या जिनका योग 9 है, अंकों को बदल देले से बनी नई संख्या से 27 अधिक है, तो संख्या है

• 36
• 63
• 18
• इनमें से कोई नहीं

माना कि संख्या 10x + y है। तब
x + y = 9
अंकों को बदल देने पर संख्या 10y + x है।
प्रश्नानुसार 10x + y = 10y + x + 27
⟹9x – 9y – 27 = 0
⟹x – y = 3
समी (i) व (ii) को हल करने पर,
x = 6, y = 3
अतः संख्या 10⨯6 + 3 = 63 है।

Ques 23: एक कक्षा में 65 विद्यार्थी हैं। उनमें रु 3900 इस प्रकार वितरित किए जाते है कि प्रत्येक लड़के को रु 80 प्राप्त हों तथा प्रत्येक लड़की को रु 30 प्राप्त हों। उस कक्षा में लड़कियों की संख्या है

• 24
• 26
• 27
• इनमें से कोई नहीं

माना लडके और लडकियों की संख्या क्रमशः x और y हैं।
x + y = 65 …(i)
और 80x + 30y = 3900 ….(ii)
समी (i) व (ii) को हल करने पर
x = 39, y = 36
कक्षा में लडकियों की संख्या = 26

Ques 24: यदि समीकरण 3x² – (2k + 1) x – k – 5 = 0 के मूलों का योग, उसके मूलों के गुणनफल के बराबर है, तो k बराबर हैं

• -2
• 1/2
• 4
• इनमें से काई नहीं

दी गई समीकरण निम्न है
3x² – (2k + 1) x – k – 5 = 0
मूलों का योग = 2k + 1 / 3
तथा मूलों गुणनफल = k + 5 / 3
अब प्रश्नानुसार 2k + 1 / 3 = – k + 5 / 3
⟹2 k + 1 = -(k + 5)
⟹3 k = -6
⟹ k = -2

Ques 25: 8 वर्ष पूर्व माता की आयु अपने पुत्र की आयु से तीन गुनी थी। 16 वर्ष पूर्व पिता की आयु माता और पुत्र की आयु के योग के बराबर थी। पिता की वर्तमान आयु माता की वर्तमान आयु से 2 वर्ष अधिक हैं। पिता माता व पुत्र की वर्तमान आयु होगी

• 40, 38, 18 वर्ष
• 30, 28, 18 वर्ष
• 30, 35, 12 वर्ष
• इनमें से कोई नहीं

40, 38, 18 वर्ष

Ques 26: कुमार एक वस्तु रु 21 में बेचता है, जिससे उसको उतने प्रतिशत की हानि होती है जितने की वस्तु क्रय की थी। वस्तु का क्रय मूल्य होगा

• रु 21 या रु 100
• रु 36 या रु 27
• 28 या 34
• रु 30 या रु 70

माना वस्तु का क्रय मूल्य = रुx
हानि = x का x % ⨯ x / 100 = x² / 100
विक्रय मूल्य = x – x² / 100 = 21
⟹100x – x² = 2100
⟹x² – 100x + 2100 = 0
⟹(x – 70) (x – 30) = 0
⟹x = 70, 30
क्रय मूल्य = 70 या 30

Ques 27: यदि समीकरण x² – px + q = 0 मे मूल α,β हैं, तो (α/β + β/α) का मान होगा

• p² + 2q² / q
• p² – 2q² / q
• p² – 2q² / p
• p² – 2q / q

माना x² – px + q = 0 के मूल α,β हैं।
तब α + = p, αβ = q
a² + β²(α + β)² – 2αβ = p² – 2q
a / β + β / a a² + β² / aβ = p² – 2q / q

Ques 28: किसी संख्या को उसके वर्ग में से घटाया जाए, तो शेष 20 रहता है। वह संख्या है

• 4
• 5
• 6
• 7

माना कोई संख्या x है।
प्रश्नानुसार x² – x = 20
⟹x² – x – 20 = 0
⟹x² – 5x + 4x – 20 = 0
⟹(x – 5) (x + 4) = 0
⟹x = 5, -4
अतः अभीष्ट संख्या 5 है।

Ques 29: दो क्रमागत सम संख्याओं के वर्गों का योग 244 है। वे संख्याएँ होंगी

• 10 और 12
• 11 और 12
• 13 और 11
• 0 और 10

10 और 12

Ques 30: समीकरण (x – 1/x)² + 9 = 5/2 (x + 1 / x + 2) में x का मान हैहै

• 1
• -3/5 या 5/4
• 1/2 या 2
• इनमें से कोई नहीं

(x – 1/x)² + 9 = 5/2 (x + 1/x + 2)
⟹x² + 1/x² – 2 + 9 = 5/2 (x + 1/x) + 5
⟹(x² + 1/x² + 2) – 5/2 (x + 1/x) = 0
⟹(x + 1/x)² – 5/2 (x + 1/x) = 0
⟹(x + 1/x) [x + 1/x – 5/2] = 0
⟹x + 1/x = 0
⟹x² + 1 = 0
⟹x² = -1
x का मान काल्पनिक है।
⟹ x + 1/x – 5/2 = 0
⟹2x² + 2 – 5x = 0
⟹(2x – 1) (x – 2) = 0
⟹x = 1/2 , 2

Ques 31: 4 कुर्सियों तथा 7 मेजों का मूल्य रु 3600 तथा 6 कुर्सियों तथा 10 मेजों का मूल्य रु 5200 है, तब एक कुर्सी तथा एक मेंज का मूल्य क्रमशः हैे

• रु200, रु 400
• रु100, रु 500
• रु 200, रु300
• रु100, रु250

माना एक कुर्सी का मूल्य = x
तथा एक मेंज का मूल्य = y
प्रश्नानुसार
4x + 7y = 3600 ….(i)
तथा 6x + 10y = 5200
⟹3x + 5y = 2600 …..(ii)
समी (i) में 3 से तथा समी (ii) से गुना करके घटाने पर,
12x + 21y = 10800
12 + 20y = 10400
y = 400
y का मान समी (i) में रखने पर
4x + 7⨯400 = 3600
⟹4x = 3600 – 2800 = 800
⟹x = 800 / 4 = 200
अतः एक कुर्सी का मूल्य = 200
तथा एक मेज का मूल्य = 400

1. बेसिक गणित
2. कार्य तथा समय – Practice Questions
3. चाल दूरी और समय – Practice Questions
4. त्रिभुज से सम्बंधित प्रश्न Triangles MCQ Questions
5. प्रतिशतता के प्रश्न Percentage Questions in Hindi
6. औसत के महत्वपूर्ण प्रश्न Average MCQ Questions
7. साधारण तथा चक्रवृद्धि ब्याज Simple and Compound Interest
8. (लाभ, हानि एवं बटटा) Profit and Loss
9. क्षेत्रफल तथा परिमाप Area and Perimeter MCQ Questions
10. घन, घनाभ तथा बेलन Cube, Cuboid and Cylinder MCQ
11. प्रिज्म, पिरामिड तथा शंकु Prism Pyramid and Cone
12. (बहुपद एवं गुणनखण्ड) Polynomial and Factors
13. लघुत्तम समापवर्त्य तथा महत्तम समापवर्तक LCM and HCF