घातांक एव करणी (Indices and Surds)

Ques 1: 15 / √10 + √20 + √40 + √5 + √80 का मान है

• √5(5 + √2)
• √5(2 + √2)
• √5(1 + √2)
• √5(3 + √2)

15 / √10 + √20 + √40 + √5 + √80
= 15 / √10 +2√5 + 2√10 -√5 – 4√5
=5 / 3√10 – 3√5 = 5 / √10 – √5 ×√10 + √5 / √10 + √5
= √10 + √5 = √5(√2 +1)

Ques 2: यदि a^1/x = b^1/y = c^1/z एवं b² = ac हो, तो x + z बराबर है

• y
• 2y
• 3y
• 2xyz

a^1/x = b^1/y = c^1/z = k
⟹ a = k^x, b = k^t, c = k²
⟹ b² = ac
⟹ (ky)² = k^x . k²
⟹ k^2y = k^{x + 2}
⟹ x + z = 2y

Ques 3: 1 / 1 + P^(x-y) + 1 / 1 + p^{(y – x)} का मान है

• 1
• 1/p
• p
• इनमें से कोई नहीं

1/ 1 + p^{x – y} + 1 / 1 + p^y-x
= 1 / 1 + p^x / p^y + 1 / 1 + p^y / p^x = p^y / p^y + p^x + p^x / p^x + p^y
= p^y + p^x / p^x + p^y = 1

Ques 4: ∛[(32)^⅖ ×(243)^-⅗] का मान होगा

• 1/3
• 2/3
• 1/4
• 3/4

[(32)^⅗ × (243)^-⅗]^⅓ = (2⁵)^⅗ ×11 / 3 ×(3⁵)^⅗ ×1/3
= 2 × 3^-1 = ⅔

Ques 5: √x⁴ {√x⁴ √(x⁴)} का मान होगा

• x⁷
• x⁶/2
• x⁷/2
• x⁴

√x⁴ √{√x⁴ √x⁴} = √x⁴ . √x⁴.²
= x⁴ .√x⁶ = √x⁴ × x³
= x⁷ = √x^7/2

Ques 6: 2² + 2^{x – 1} / 2^{x + 1} – 2^x में, यदि x = 0 हो, तो x का मान होगा

• 1
• 3/2
• 2
• 4/3

2^x + 2^x-1 / 2^x+1 – 2^x = 2⁰ + 2^-1 / 2¹ – 2⁰ = 1 + ½ / 1 = 3/2

Ques 7: [(81)²]^1/24 मान है

• 81
• 27
• 9
• 3

3

Ques 8: 2³²³ + [(2³)²]³ का मान है

• 1
• 2⁷¹¹
• 2⁶⁵⁴³
• इनमें से कोई नहीं

2³²3 [(2³)²]² = 2³⁸ = 2⁶⁵⁶¹ 2¹⁸ = 2⁶⁵⁴³

Ques 9: √(3/7)^x+1 = 343 / 27 में x का मान है

• -7
• 2
• -4
• 5

Ques 10: यदि √x/y + √x / y = 10 / 3 तथा x + y = 10 , तो xy का मान होगा

• 9
• 24
• 3
• 36

दिया है, √x / y + √y / x = 10/3
∴x + y / √xy = 10 / 3
⟹√xy = 3
⟹xy = 9 (∴x + y = 10, दिया है)

Ques 11: समीकरण 3^{x + 5} = 27^{2x – 5} में x का मान होगा

• 4
• 7
• 3
• 2

3^x+5 = 27^2x-5
⟹3^x+5 = 3^{6x – 15}
⟹3^{x + 5} = 3^{6x – 15}
⟹x + 5 = 6x – 15
⟹5x = 20 ⟹ x = 4

Ques 12: यदि 2^{x – 1} + 2^{x + 1} = 320 हो, तो x का मान होगा

• 6
• 8
• 5
• 7

दिया है, 2^x-1 + 2^x+1 = 320
∴2^x. ½ + 2.2^x = 320
⟹2^x. 5/2 = 320
⟹2^x = 128 = 2⁷ ⟹ x = 7

Ques 13 : समीकरणों 2^x + 1 = 4^y + 2 तथा 3^x-2 = 9^2y-x में x तथा y का मान होगा

• 4,7/2
• 1, -1
• 2,1
• -4, -7/2

2^x+1 = (2)^2(y+2) से,
⟹x + 1 = 2 (y + 2)
⟹x – 2 = 3 ….(i)
तथा 3^x-2 = 3^{2(2y – x)} से,
x -2 = 4y – 2x
⟹3x – 4y = 2 ……(ii)
समी (i) व(ii) को हल करने पर
X = -4, y = -7/2

Ques 14: समीकरणों 3^2x + 9^y = 27 तथा 4^x + 1 = 8^y + 1 में x का मान होगा

• 3/7
• 7
• 7/2
• 4

3^2x + 9^y = 27 से
⟹3^2x / 3^2y = 3³
तथा 4^x+1 = x^y+1 से,
∴2^x(x+1) = 2^3(y+1)
2(X + 1) = 3(y + 1)
⟹2x – 3y = 1
समी (i) व (ii) को हल करने पर,
X = 7/2, y = 2

Ques 15: √(x⁴y²) × ∜x⁸ y^-16 का मान है

• x⁴ y^-3
• x² y^-3
• xy^-3
• y^-3

Ques 16: ∛x⁷ × (x^-6) x³² सरलीकरण है

• x^-27/3
• x^-38/3
• x^-23
• इनमें से कोई नहीं

x^{7×1/2x x-6 x9 ⟹ x7/2 – 6, -9 = x30/3}

Ques 17: यदि a^x a^{x – 3} = 27 हो, तो a का मान होगा

• 5
• 3
• 4
• 6

Ques 18: यदि 2^x = 3^y = 36^z, तो z बराबर है

• x + y / 8
• x + y / 4
• x – y / 4
• इनमें से कोई नहीं

2^x 3^y = 36^z
⟹2^x 3^y = 36^2z = (6)^4z
⟹2^x 3^y = 2^4z × 3^4z
⟹4z = x और 4x = y
⟹ z = x/4, z = y / 4
⟹2z = x + y / 4 ⟹ z = x + y / 8

Ques 19: यदि m तथा n दो प्राकृत संख्याएँ हैं, जबकि mⁿ = 25, तब n^m का मान होगा

• 4
• 10
• 32
• 16

Mⁿ = 25 = 5²
M = 5, n = 2
∴n^m = 2⁵ = 32

Ques 20: यदि 8^x + 8^{x – 1} = 72, तो (2x)^-3/2x है

• 256
• 64
• 1/256
• 1/64

दिया है, 8^x + 8^{x – 1} = 72
माना 8^x = y
⟹y + y / 8 = 72 ⟹ 9y = 72 × 8
⟹ y = 72 × 8 / 9 = 64 ⟹ 8^x = 64 = 8²
अब, (2x)^3/2x = (2 × 2)^-3/2 × 2 = (4)^-3 = ¼² = 1/64

Ques 21: (8/27)^-⅓ × (81/16)^¾ (32/243)-2/5 का मान होगा

• 9/4
• -9/2
• -9/7
• 4/9

(8/27)^-⅓ × (81/16)^¾ (32 / 243) -2/5
= (3² / 2³)^⅓ × (3⁴ / 2⁴)^¾ × (2⁵ / 2⁴)^{⅖ = 3 / 2 × 32 / 23 × 22 / 32
= 32 / 22 = 9/4}

Ques 22: यदि x^y = y^x, तो (x/y)^x/y का मान होगा

• x^(x/y)+1
• x^(x/y)-y
• x^(x/y)-2
• x^x/y

x^y = y^x या y^x = x^y
दोनों ओर 1 / y की घात लेने पर, y^x/y = x
दोनों ओर x^x/y से भाग देने पर y^x/y / x^x/y = x / x^x/y
⟹ (y/x)^x/y = x^1-x/y
⟹(x/y)^x/y = x^x/y-1

Ques 23: (256)^0.06 × (256)^0.19 का मान होगा

• 4
• 16
• 64
• 256

(256)^0.06 × (256)0.19
= (256)^0.25 = (256)^¼ = (4⁴)^¼ = 4

Ques 24: यदि e = 2.718 हो, तो 8(e^x2)² × ⅕ (e⁵)^x2 (3^2x)^4x का मान है

• 1.6 (2.818)^x6 – 3x²
• 1.6
• 4.3488
• उपरोक्त में से कोई नहीं

8.e^3x2 . ⅕ e^5x2 × 1 / 3^8x2 = 8 / 5. 3^8x2 / e^8x2 = 8/5 = 1.6

Ques 25: यदि a = √8 – √7, b = √7 – √6 तथा c = √6 + √5 हो, तो निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?

• a > b > c
• a < b < c
• b < a < c
• a < c < b

a = (√8 – √7), b = (√7 – √6), c = (√6 – √5) में से प्रत्येक करणी के अन्दर की संख्याओं का अन्तर 1 है। अतः (√8-√7)<√7-√6)<(√6-√5)
a<b<c

Ques 26: √19 – √17, √13 – √17,√7 – √5,√5 – √3 में कौन सा व्यंजन सबसे बड़ा हैं?

• √19 – √17
• √13 – √11
• √7 – √5
• √5 – √3

(√19-√17), (√13-√11), (√7-√5) तथा (√5-√3) में प्रत्येक करणी के अन्दर की संख्याओं का अनतर 2 है, अतः (√ – √7) < √7 – √6 < (√6 – √5) सबसे बड़ी करणी होगी।